Archiv Papiertechnik

Winkel und Winkelmaß

Ursprünglich war im SI-System offen geblieben, ob die Winkeleinheiten Radiant und Steradiant Basis- oder abgeleitete Einheiten sind. Zunächst als „ergänzende Einheiten“ bezeichnet, zählen sie nunmehr seit 1995 als abgeleitete Einheiten. Zunächst aber wird die Frage geklärt, was ein Winkel überhaupt ist.

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Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Geraden zueinander. Der Schnittpunkt der Geraden ist der Scheitel oder Scheitelpunkt, die Geraden sind die Schenkel. Ein voller Kreis um den Scheitel ist der Vollwinkel, der in 360 Grad (°) unterteilt ist. 1 Grad ist wiederum in 60 (Winkel-)Minuten (’), 1 Minute in 60 (Winkel-)Sekunden (”) unterteilt. Den halben Vollwinkel (180 °) nennt man „gestreckter Winkel“ und das Viertel (90 °) nennt man „rechter Winkel“. Winkel unter 90 ° sind „spitze Winkel“, über 90 ° „stumpfe Winkel“, und wenn sie über 180 ° haben, sind es „überstumpfe Winkel“. Das geodätische Winkelmaß, das Gon (Abkürzung „gon“), ergibt sich, wenn man den Vollwinkel durch 400 teilt (1 gon = 360/400= 0,9 Grad). In der Geometrie werden Winkel meist mit kleinen griechischen Buchstaben als Formelzeichen bezeichnet, also zum Beispiel a, b, c usw. Für den Vollwinkel gibt es derzeit keine gesetzliche Standardeinheit!

Neben diesem Gradmaß wird der Winkel, vor allem in der Mathematik, auch als Bogenmaß angegeben. Hier geht man vom Einheitskreis aus, einem Kreis mit dem Radius r = 1 m. Dann hat der Vollwinkel entsprechend der Berechnungsformel des Kreisumfangs U die Größe 2 f (U = 2 r f) (f siehe Papier+Technik Nr. 3/2007) und 1 Grad ist 2 f/360 = etwa 0,01745 rad. Dabei wird der Zahl die Hilfseinheit Radiant (Abkürzung „rad“) angefügt. Es ist 1 rad = 360 °/ 2 f = ungefähr 57,3 °. Die Länge des Kreisbogens dieses Winkels 1 rad beträgt im Einheitskreis 1 m und ist gleich dem Radius (1 m). Somit hat der Radiant im SI-System die Einheit Meter pro Meter (m/m), was man zwar weglassen kann, aber zum Verständnis im Gedächtnis behalten sollte. Hieraus erklärt sich nämlich, dass der Radiant tatsächlich eine (vom Meter) abgeleitete SI-Einheit ist. Er kann auch mit Präfixen versehen werden, also zum Beispiel mrad (Milliradiant = ein Tausendstel rad). Zusammenfassend gilt

Vollwinkel = 360 ° = 400 gon = 2 f rad.

Daneben wird der Vollwinkel als Zeitmaß in der Astronomie noch in 24 Stunden unterteilt („da dreht sich der Himmel einmal um den Beobachter“) und hier zur Angabe des Stundenwinkels und der Rektaszension verwendet. Und schließlich gibt es noch die Unterteilungen des Vollwinkels in „Strich“, zum Beispiel in 32 nautische Striche (¯) für den Seefahrer oder in 6400 militärische Striche (mil) für den Richtkanonier.

Die Definition des Steradianten (Abkürzung sr, früher auch str oder sterad), der zweiten abgeleiteten SI-Einheit für ein Winkelmaß, fordert das Vorstellungsvermögen noch mehr: Diese Einheit, die ebenfalls dimensionslos gebraucht wird, aber tatsächlich die Einheit Quadratmeter pro Quadratmeter (m²/m²) besitzt, beschreibt den Raumwinkel: Der Raumwinkel von 1 sr umschließt auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius 1 Meter die Fläche von 1 Quadratmeter. Der volle Raumwinkel umfasst 4 f sr – analog zur Kugeloberflächenberechnung (OKugel = 4 r² f) und auch zum Vollwinkel der Ebene mit seinen 2 f rad.